Função exponencial

  O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão:

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N(t) –> número de bactérias em função do tempo.
N(t) = 1200 . 2^0,4t→ N(t) = 38400

Igualando, temos:

1200 . 2^0,4t = 38400 → 2^0,4t = 38400 / 1200 = 32 → 2^0,4t= 2⁵ → 0,4t = 5 –> t = 5 / 0,4 = 12,5 h ou 12h 30min.

portanto, a cultura terá 38400 bactérias após 12h 30min.

  Dado um número real a (a>1 e a diferente de 1), denomina-se função exponencial de base a uma função f: |R —> |R*+ dada por f(x)=a^x
ou y = a^x 
Exemplos:
f(x) = 2^x 
                                              y = 5^{x
     Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. Se lançarmos 2, 3, 4, etc…, moedas diferentes entre si, os resultados possíveis serão 4, 8, 16, etc. ou seja, o número de resultados possíveis é dado em função do número de moedas lançadas.
1 moeda –> 2¹ = 2 resultados possíveis
2 moedas –> 2² = 4 resultados possíveis.
3 moedas –> 2³ = 8 resultados possíveis.
.
.
.
n moedas –>} 2^{n resultados possíveis.
Logo: f(n) =} 2^{n ou y =} 2<sup>n , com n = 1, 2, 3…

Gráfico da função exponencial</sup>     

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
2x	2-3	2-2	2-1	2⁰	2¹	2²	2³
y = 2x	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8

Equações exponenciais
     Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Exemplos:

a) 4^x = 32; 

b) (1/3)^x= 81; 

c) 25^x+1 = √25^x; 

d) 2^2x= 2^x+ 12

Resolução de equações exponenciais que podem ser transformadas numa igualdade de potências de mesma base.

a) 3^x-1 = 81 => 3^x-1 = 3⁴

Igualamos os expoentes: x-1 = 4 → temos uma equação 1º grau, logo: x = 5

b) (1/2)^x = ³√4 → 
Transformamos ½ em 2^-1, pois 2^-1= 1/2¹ : potenciação.

Transformamos ³√4 em 4^1/3 : radiciação.
Então:

(2^-1)^x = 4^1/3→ 
(2^-1)^{x : pela potenciação. ->} 2^-x
4^{1/3 : fatoramos o 4. –> (2²) –>}  (2²)^{1/3 –> pela potenciação:} 2^{2/3
Temos, então:}
2^-x= (2²)^1/3→ 2^-x= 2^2/3 
Igualando os expoentes:
 -x = 2/3 (.-1)→ x = -2/3

c) 2^{x² -3x -4} = 1 → Como 1 é igual 2º → 2^{x² -3x -4} = 2º → igualando os expoentes:

x² -3x-4 = 0 (equação do 2º grau): resolvendo por Bhaskara → x’= 4 e x”=-1

Resolução de equações exponenciais usando artifícios de cálculo
a) 3 . 4^x+1 = 96 –> isolamos 4^{x+1 = 96/3 –>} 4^{x+1 = 32 –>
Fatoramos 4: (2²) –>} (2²)^x+1 = 2^2x+2
Fatoramos 32: 2⁵
Obtemos potências de mesma base e igualamos os expoentes:
2x+2 = 5 —> Eq. do 1º grau.
x = 3/2

b) 2^x+2 + 2^x-1= 18
2^{x+2 =} 2^{x .  2²}  
2^{x-1 =}2^x . 2^-1
Logo: 2^{x .  2² +} 2^x . 2^{-1 = 18}
Transformamos a base numa variável: 2^{x = y, logo:
y . 4 + y . 1/2 = 18 –> multiplicamos
4y + y/2 = 18 –> resolvendo a equação obtemos: 8y + y = 36 –> 9y = 36 –> y = 4
Como igualamos} 2^{x = y e como y=4, logo obtemos} 2^{x=4; fatorando o 4 : 2² –> 
Igualamos os expoentes: x = 2
(Observe que para resolver problemas que envolvem equações e funções exponenciais, você deve dominar o conteúdo chamado de cálculo algébrico, na 7ª/8ª séries do Ensino Fundamental).}